MENYUSUN PENYELESAIAN MATEMATIKA

I. PENDAHULUAN
Selama ini banyak siswa yang menganggap bahwa matematika adalah mata pelajaran yang abstrak. Suatu pandangan yang sangat mendasar, karena pada hakekatnya belajar matematika adalah belajar mengkomunikasikan simbol-simbol matematika yang abstrak. Konteks abstrak ini kemudian menjelma menjadi sebuah konsepsi bahwa matematika adalah mata pelajaran yang sulit dan menawarkan kesan menakutkan.
Bagi para siswa yang suka akan tantangan, konsep matematika yang abstrak menjadi sebuah daya tarik tersendiri. Mereka mendapatkan semacam lahan untuk mengekspresikan segala kemampuan dan keingintahuan terhadap sesuatu yang dapat menghantarkannya pada jenjang pemikiran tingkat tinggi. Ini mereka tempuh, karena mereka akan merasa bangga jika mampu menyelesaikan permasalahan yang rumit. Dapat dikatakan ada suatu kepuasan batin yang didapatkan dari kemampuan menyelesaikan masalah yang rumit dan menantang. Berbeda dengan siswa yang tidak suka tantangan. Mereka akan mendapatkan banyak kesulitan untuk memikirkan cara memecahkan persoalan matematika dan mungkin akan terdorong kepada situasi yang menjenuhkan dan keputusasaan.
Jika dipandang dari konteks abstrak matematika sudah barang tentu belajar matematika itu tidak akan memiliki makna apa-apa. Mungkin orang banyak mengungkapkan bahwa matematika adalah seni berpikir yang hanya dapat dipecahkan oleh orang-orang yang memiliki kejeniusan. Tetapi konteks ini tentunya akan membatasi kepada fungsi dan peran matematika sebagai “the mother of science” yang seharusnya bisa menjiwai semua orang yang belajar matematika. Matematika dipelajari karena konteks matematika yang memang diperlukan untuk membantu ilmu lain yang dipelajarinya.
Berbicara tentang fungsi dan peran matematika terhadap ilmu-ilmu lain menjukkan bahwa matematika memiliki keterkaitan erat dengan ilmu-ilmu di luar matematika. Keterkaitan ini menunjukkan bahwa sumber permasalahan matematika tidak harus berasal dari permasalahan matematika yang abstrak tetapi bisa saja terjadi dari objek lain di luar matematika. Berdasarkan hal tersebut maka matematika pada dasarnya tidak hanya bersifat formal tetapi bisa saja informal yang memberikan gambaran permasalahan yang ekplisit dan realistik. Dengan cara seperti ini, maka untuk menyelesaikan soal matematika tidak harus langsung pada kondisi formal tetapi dapat disusun dari cara-cara informal.

II. Dari Matematika Informal ke Matematika Formal
Proses menyelesaikan suatu persoalan matematis pada prinsipnya dapat dimulai dari matematika informal yang disusun secara sistematis menjadi matematika formal. Matematika informal menyajikan beragam kebebasan berpikir dalam memperoleh ide dan menuangkan ide sehingga tergambar sebuah penyelesaian matematis. Sebuah penyelesaian matematis secara informal dapat diperoleh dengan cara mengelaborasi kemampuan berpikir yang lebih real dan mudah untuk dipahami.
Penyelesaian matematika dengan cara informal dapat menjadi inspirasi bagi penyelesaian matematika dengan cara formal. Ide-ide ini kemudian disusun secara sistematis langkah demi langkah sehingga setiap tahapan menjadi jelas dan teratur. Penyusunan kembali draft yang telah dituangkan, dimaksudkan untuk tujuan berikut:
1. Membantu kita mengingat.
2. Membantu mengurangi proses penyelesaian.
3. Membantu mengelaborasi, menambahkan serta melengkapkan.
4. Membantu orang yang membacanya menjadi lebih mengerti.
Berikut ini contoh permasalahan matematika yang dapat diselesaikan dengan cara informal dan formal.
Pada suatu pagi Arman dan Munah lari pagi mengelilingi lapangan sepakbola. Dalam 1 jam Arman dapat menyelesaikan 12 keliling sedangkan Munah hanya mampu menyelesaikan 8 keliling. Jika Munah mulai lari pada pukul 06.00 dan Arman mulai lari pada pukul 07.00, Berapa jam yang diperlukan Munah agar pada saat itu Ia dan Arman mengelilingi lapangan dalam jumlah yang sama?



Penyelesaian dengan cara informal
Tabel dibawah ini menunjukkan bahwa permasalahan di atas bisa diselesaikan dengan cara mengurutkan angka-angka pada jam dengan selisih satu jam yang dihubungkan dengan banyak putaran. Angka di mana Arman dan Munah mulai berlari ditunjukkan dengan angka nol. Karena Arman mulai berlari pada pukul 07.00, maka angka nol diletakkan pada angka 07.00, sedangkan Munah mulai berlari pada pukul 06.00 sehingga angka nol diletakkan pada angka 06.00. Perubahan putaran seiring dengan pertambahan waktu tiap jam yang dimiliki oleh Arman dan Munah dan dianggap bahwa tiap jam selalu menghasilkan putaran yang tetap. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat dalam tabel berikut ini.
PUTARAN

0
12
24
Arman
06.00
07.00
08.00
09.00
Munah
06.00
07.00
08.00
09.00
PUTARAN
0
8
16
24

12
3
6
9
1
2
4
5
7
8
10
11
8
16
24
munah
Arman
12
24 Gambar dibawah mengilustrasikan perubahan waktu seiring dengan banyaknya putaran yang ditempuh oleh Arman dan Munah dengan banyak putaran dianggap tetap untuk tiap jamnya. Sama halnya dengan menggunakan tabel perubahan putaran tiap jam dilakukan dengan penambahan putaran yang tetap untuk tiap jamnya.







Dari kedua ilustrasi di atas dapat dilihat bahwa waktu yang diperlukan Munah agar dapat mengelilingi lapangan dalam jumlah yang sama dengan Arman adalah 3 jam.

Kedua penyelesaian di atas merupakan cara-cara menyelesaikan permasalahan matematika dengan cara informal. Pada penyelesaian cara pertama, para siswa mengurutkan perubahan bilangan-bilangan tiap jam. Karena terjadi perubahan tiap jam maka setiap jam putaran akan berubah mengikuti pertambahan putaran. Cara-cara seperti ini tentunya akan mudah dipahami siswa dengan manipulasi hitungan sebagai berikut:
Arman
Putaran
Munah
Putaran
06.00
-
06.00
0 (start)
07.00
0 (start)
07.00
0 + 8 = 8
08.00
0 + 12 = 12
08.00
8 + 8 = 16
09.00
12 + 12 = 24
09.00
16 + 8 = 24
Pada penyelesaian cara kedua, siswa diajak untuk memvisualisasikan permasalahan dengan menampilkan jam. Perubahan jarum jam akan membawa siswa untuk memikirkan perubahan putaran mengikuti pertambahan bilangan tiap jam. Ini dapat memudahkan siswa karena dapat secara langsung melogikakan perubahan putaran sesuai dengan perubahan jarum jam.


Penyelesaian dengan cara formal
Setelah siswa mampu menyelesaikan soal dengan cara informal, maka siswa dapat memikirkan cara lain yang lebih praktis tanpa harus mengurutkan bilangan terlebih dahulu. Siswa dapat memikirkan penyelesaian dengan cara formal sperti yang digambarkan dalam tabel berikut ini.
Arman
Munah
Dalam 1 jam Arman lari 12 keliling
Dalam 1 jam Munah lari 8 keliling
Dalam x jam Arman lari 12x keliling
Dalam y jam Munah lari 8y keliling
Setelah x jam dan y jam jumlah keliling harus sama
Dengan cara berpikir di atas akan sangat jelas bahwa banyaknya x jam harus sama dengan banyaknya y jam. Karena Munah lari lebih dahulu daripada Arman dengan selisih 1 jam, maka siswa akan berpikir bahwa hubungan antara x dan y berselisih 1 atau dinyatakan secara matematis sebagai berikut:
y = x + 1 dan 12x = 8y
Kedua persamaan ini dapat diselesaikan sebagai berikut:
12x = 8 (x + 1)
Û 12x = 8x + 8
Û 12x – 8x = 8
Û 4x = 8
\ x = 2
Karena x = 2, maka y = 3
Dengan demikian Munah memerlukan waktu 3 jam agar dapat mengelilingi lapangan dalam jumlah yang sama dengan Arman.
Pada penyelesaian cara formal ini, visualisasi tentang perubahan waktu sudah tidak dipikirkan lagi. Bentuk penyelesaian masalah sudah benar-benar abstrak, hanya mengandalkan intuisi dan keterampilan berhitung saja.

III. Pembahasan
Menyelesaikan soal matematika bisa dikatakan “gampang-gampang susah”. Apalagi kalau soal tersebut merupakan soal bentuk cerita yang memerlukan pemahaman tingkat tinggi. Soal dengan tingkat pemahaman yang tinggi memerlukan berbagai hal dalam menyelesaikannya, mulai dari ilustrasi, menduga, mencoba-coba (trial and error) sampai kepada merumuskan formulasi yang tepat sehingga diperoleh hasil yang diinginkan. Ketika kita membuat ilustrasi, menduga dan mencoba-coba (trial and error) pada dasarnya kita telah berada pada situasi informal di mana kita ditantang untuk mengelaborasi segala pengetahuan kita dengan cara mentransformasikan permasalahan implisit dalam soal menjadi permasalahan eksplisit yang dapat diterima secara argumentatif.
Suatu pemecahan informal sangat membantu kita dalam menyusun penyelesaian secara formal. Pemecahan informal ini bisa menjadi jembatan dalam menyelesaikan soal secara formal. Berkaitan dengan soal, ternyata soal lebih mudah ditransformasikan ke dalam penyelesaian informal daripada ditransformasikan langsung ke dalam penyelesaian formal. Alasannya, karena pemecahan informal lebih mengandalkan konsep berpikir realistik yang mudah dijangkau oleh pemikiran kita daripada pemecahan formal yang lebih kepada cara berpikir yang abstrak.
Selain itu, ada kebebasan dalam menyelesaikan permasalahan matematika secara informal. Para siswa bisa dengan leluasa melakukan elaborasi soal sehingga permasalahan soal akan cepat dipahami. Setelah permasalahan soal dipahami, para siswa akan menentukan alternatif pemecahan dengan menggunakan operasi-operasi matematika yang lebih sederhana.
Lain halnya dengan pemecahan formal, para siswa dihadapkan pada konsep berpikir matematis yang abstrak. Keterampilan mentransformasikan permasalahan ke dalam simbol matematik yang tepat menjadi suatu hambatan tersendiri. Masalah selanjutnya adalah melakukan operasi matematis yang bisa menghasilkan suatu solusi yang diyakini benar.
Kendatipun demikian kedua cara penyelesaian soal ini memiliki keunggulan dan kelemahan masing-masing, walaupun keduanya diperlukan dalam menyelesaikan permasalahan. Para siswa harus mampu menyelesaikan permasalahan matematika secara informal agar dapat membantu konsep berpikir secara formal. Di samping itu, para siswa juga harus mampu menyelesaikan permasalahan matematika secara formal, karena pada intinya penyelesaian-penyelesaian matematika itu bersifat formal sesuai dengan fungsi dan peran matematika dalam rangka menyederhanakan permasalahan serta memberikan hasil yang konkrit.
Beberapa keunggulan dan kelemahan dari penyelesaian matematika secara informal adalah sebagai berikut:
1. Penyelesaian informal sifatnya tidak kaku dan bisa diselesaikan dengan berbagai cara tetapi penyelesaian akan menjadi kompleks manakala melibatkan perhitungan-perhitungan yang panjang.
2. Penyelesaian informal membantu kita untuk cepat memahami soal melalui ilustrasi yang realistik, tetapi inspirasinya sangat sulit untuk diperoleh.
Sedangkan beberapa keunggulan dan kelemahan dari penyelesaian matematika secara formal adalah sebagai berikut:
1. Penyelesaian formal memerlukan penggunaan formulasi matematika yang kaku, tidak bebas memilih dan harus tetap memilih. Akan tetapi jikan pemilihan formulasi ini tepat maka permasalahan akan cepat dapat diselesaikan dengan perhitungan-perhitungan yang relatif lebih sederhana.
2. Sangat sulit mentransformasikan permasalahan matematika ke dalam bahasa simbol atau model matematika. Ini memerlukan latihan sehingga terbiasa dengan tipe soal yang dihadapi.


IV. Penutup
Dari kajian tentang bagaimana menyelesaikan permasalahan matematika di atas dapat diungkapkan beberapa kesimpulan sebagai berikut:
1. Penyelesaian matematika bisa dilakukan dengan cara informal dan formal. Kedua cara ini bisa dijadikan alternatif untuk menyelesaikan soal dengan memilih mana yang mungkin lebih bisa digunakan dalam menyelesaikan soal.
2. Penyelesaian matematika dapat dilakukan melalui cara informal yang menjembatani penyelesaian dengan cara formal. Informasi dalam penyelesaian informal dapat digunakan untuk mengubah permasalah menjadi bahasa simbol yang kemudian dijadikan satu atau beberapa persamaan dengan solusi yang sederhana.
3. Draft penyelesaian persamaan matematis dalam penyelesaian formal harus disusun kembali secara sistematis untuk membantu kita mengingat, membantu mengulangi proses penyelesaian, membantu mengelaborasi, menambahkan dan melengkapkan serta membantu orang yang membacanya agar mudah mengerti.